Função no Enem

Olá, candidatos! Frequentemente vemos nas provas de “Matemática e suas Tecnologias” questões que envolvem funções, sejam elas do 1° grau ou do 2° grau. Em alguns casos, podemos ver inclusive questões das provas de “Ciências da Natureza e suas tecnologias” que envolvem o conhecimento sobre funções. Vamos então relembrar alguns conceitos importantes para resolver qualquer tipo de questão com função no Enem.

Função do 1° Grau

Uma função do 1° grau ou função afim é do tipo f(x) = ax + b, com a e b , sendo que a é o coeficiente de x e b  , o termo constante.

O zero ou a raiz da equação é o valor de x para o qual temos f(x) = 0. Então, se f(x) = ax + b e queremos encontrar f(x) = 0, faremos:

f(x) = 0
ax + b = 0
ax = – b
x = – b
       a

Podemos dizer que a raiz de uma equação do 1° grau é dada por x = ^{– b}/_a.

Função do 2° Grau

Uma função do tipo f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c  ​ , é uma função do 2° grau ou função quadrática. Os termos a, b e c são ditos coeficientes, e a deve ser necessariamente diferente de zero (a ≠ 0) para que se tenha uma função do 2º grau.

Ela pode ter até duas raízes ou zeros da equação. Para determinar quais são os valores de x, tais que f(x) = 0, nós utilizamos a fórmula de Bhaskara:

O gráfico de uma função do 2° grau é uma parábola. A partir de algumas fórmulas simples, podemos identificar os pontos notáveis da parábola. As coordenadas do vértice da parábola podem ser encontradas através de:

x_v = – b
           2a

y_v = – Δ
          4a

Agora que relembramos conceitos importantes sobre funções do 1° e do 2° grau, vamos resolver duas questões sobre função no Enem que caíram em provas anteriores.

1ª Questão com função no Enem de 2013

A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

1ª questão com função – Enem 2013

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei  , onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x. Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é

a) 1.

b) 2.

c) 4.

d) 5.

e) 6.

Resolução:

Conhecendo a função do 2° grau  , seus coeficientes são a = ³/₂, b = – 6 e c = C. Vamos então identificar as coordenadas do vértice V da parábola:

x_v = – b
          2a
x_v = – (– 6)
            2.(³/₂)
x_v = 6
        3
x_v = 2
y_v = – Δ
        4a
y_v = – (b² – 4.a.c)
           4a
y_v = – [(– 6)² – 4.(³/₂).C]
         4.(³/₂)
y_v = – [36 – 2.3.C]
         2.3
y_v = – 36 + 6.C
        6
y_v = – 6 + C

Mas o vértice está localizado no eixo x, logo y_v = 0, portanto, temos:

y_v = – 6 + C
0 = – 6 + C
C = 6

A altura do líquido é de 6 cm, logo a alternativa correta é a letra e.

2ª Questão com função no Enem de 2011

O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada.

Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?

a) 100n + 350 = 120n + 150 ←
b) 100n + 150 = 120n + 350
c) 100(n + 350) = 120(n + 150)
d) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000)
e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)

Resolução:

Vamos identificar a primeira empresa descrita como Empresa A e a segunda como Empresa B. Podemos utilizar funções do 1° grau para descrever o preço cobrado por cada empresa. A empresa A tem um custo fixo de R$ 350 000,00 e cobra R$ 100 000,00 por km construído (n), então 350 000 é o termo constante e 100 000 é o coeficiente da variável n. A função que representa a empresa A é:

y_A = an + b
y_A = 100000.n + 350000

Para a empresa B, podemos afirmar que o custo fixo de R$ 150 000,00 é o termo constante e o valor de R$ 120 000,00 por km construído (n) é o coeficiente da variável n. Portanto, a função do preço cobrado pela empresa B é:

y_B = an + b
y_B = 120000.n + 150000

O valor cobrado pelas duas empresas será o mesmo quando y_A = y_B, então, temos:

y_A = y_B
100000.n + 350000 = 120000.n + 150000

Dividindo ambos os membros da equação por 1000, teremos:

100.n + 350 = 120.n + 150

A alternativa que apresenta a equação correta é a letra a.

Bons estudos!

Fontes:

Provas do Enem de 2013 e 2011.